Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số đã học theo sơ đồ trên

y = ax + b

y = ax² + bx + c

Lời giải chi tiết

* Hàm số y = ax + b

Trường hợp a > 0

1. TXĐ: D = R.

2. Sự biến thiên.

y’ = a > 0. Vậy hàm số đồng biến trên toàn bộ R.

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr} \)

Bảng biến thiên

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = {{{x^3}} \over 3} - {x^2} + x + 1\)

Lời giải chi tiết

1.TXĐ: D = R.

2. Sự biến thiên:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr} \)

y’ = x² – 2x + 1 = (x – 1)² ≥ 0 với mọi x. Vậy hàm số đồng biến trên toàn bộ R.

Cho y’ = 0 ⇒ x = 1.

Bảng biến thiên

Đề bài

Lấy một ví dụ về hàm số dạngy = ax⁴ + bx² + c sao cho phương trình y’ = 0 chỉ có một nghiệm.

Lời giải chi tiết

Ví dụ hàm số y = x⁴

Có đạo hàm y’ = 4x³

Cho y’ = 0 thì x = 0.

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

\(y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^3}\);

Phương pháp giải:

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:

*) Xét chiều biến thiên của hàm số:

+) Tính đạo hàm.

+) Tìm các điểm \({{x}_{i}}\) mà tại đó đạo hàm có \(y'=0\) hoặc đạo hàm không xác định.

+) Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức:

LG a

\(\displaystyle {{x + 3} \over {x - 1}}\),

Phương pháp giải:

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:

*) Xét chiều biến thiên của hàm số:

+) Tính đạo hàm.

+) Tìm các điểm \({{x}_{i}}\) mà tại đó đạo hàm có \(y'=0\) hoặc đạo hàm không xác định.

+) Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

LG a

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số

\(y = -x^3+ 3x + 1\).

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số  \(y = -x^3+ 3x + 1\).

Tập xác định : \(\mathbb R\).

* Sự biến thiên:

Ta có: \(y' = -3x^2+ 3 = -3(x^2-1)\);

\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\).

- Hàm số đồng biến trên khoảng \((-1;1)\), nghịch biến trên khoảng \((-\infty;-1)\) và \((1;+\infty)\).

- Cực trị:

Cho hàm số y = \(\dfrac{1}{4}x^{4}+\dfrac{1}{2}x^{2}+m\).

LG a

a) Với giá trị nào của tham số \(m\), đồ thị của hàm số đi qua điểm \((-1 ; 1)\) ?

Phương pháp giải:

Thay tọa độ điểm đề bài đã cho vào công thức hàm số để tìm m.

Lời giải chi tiết:

Điểm \((-1 ; 1)\) thuộc đồ thị của hàm số \(⇔1=\dfrac{1}{4}(-1)^{4}+\dfrac{1}{2}(-1)^{2}+m\) \(\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{4}\).

LG b

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số khi \(m = 1\).

Cho hàm số \(y=\frac{(m+1)x-2m+1}{x-1}\) (m là tham số) có đồ thị là \((G)\).

LG a

a) Xác định \(m\) để đồ thị \((G)\) đi qua điểm \((0 ; -1)\).

Phương pháp giải:

Thay tọa độ điểm đề bài đã cho vào công thức hàm số để tìm m.

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có \((0 ; -1) ∈ (G) \) \(⇔ -1=\dfrac{(m+1)\cdot 0-2m+1}{0-1}\) \( \Leftrightarrow  - 1 = 2m - 1 \Leftrightarrow 2m = 0\) \(\Leftrightarrow m=0.\)

LG b