Nêu định nghĩa và các tính chất cơ bản của logarit.
Lời giải chi tiết
1. Định nghĩa
Cho hai số dương a, b với \(a\ne1\). Nghiệm duy nhất của phương trình \({a^x} = b\) được gọi là \({\log _a}b\) ( tức là số \(\alpha\) có tính chất là \({a^\alpha } = b\)).
Nêu định nghĩa và các phương pháp tính nguyên hàm.
Lời giải chi tiết
Nguyên hàm
Cho hàm số f(x) xác định trên K ( k là nửa khoảng hay đoạn của trục số). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K.
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\). Giả sử \(F(x) \) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([a;b]\), hiệu số \(F(b) - F(a)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) (hay tích phân xác định trên đoạn \([a;b]\) của hàm số \(f(x)\).
Kí hiệu là : \(\int_a^b f (x)dx\)
Vậy ta có :\(\int_a^b f (x)dx = F(b) - F(a) = F(x)|_a^b\)
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ a;\ b \right]\) ta làm như sau :
+) Tìm các điểm \({{x}_{1}};\ {{x}_{2}};\ {{x}_{3}};...;\ {{x}_{n}}\) thuộc đoạn \(\left[ a;\ b \right]\) mà tại đó hàm số có đạo hàm \(f'\left( x \right)=0\) hoặc không có đạo hàm.
Tính các tích phân sau bằng phương pháp tính tích phân từng phần
a
a) \(\int_1^{{e^4}} {\sqrt x } \ln xdx\)
Phương pháp giải:
+) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để tính tích phân.
+) Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân.
+) Sử dụng công thức tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {u\left( x \right)dv\left( x \right)} = \left. {u\left( x \right).v\left( x \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left( x \right)du\left( x \right).} \)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
a
a) \(y = x^2 + 1, x = -1, x = 2\) và trục hoành
Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành, đường thẳng \(x=a,x=b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Trên mặt phẳng tọa độ, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn bất đẳng thức:
a
a) \(| z| < 2\)
Phương pháp giải:
Gọi số phức z có dạng \(z = a + bi\), dựa vào các giải thiết đề bài cho thiết lập mối liên hệ giữa a, b và suy ra tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z.
Lời giải chi tiết:
Đặt \(z = a + bi ( a, b ∈ \mathbb R)\). Ta có:
a) \(\left| z \right| < 2 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} < 2 \) \(\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} < 4\)