Ôn tập chương IV - Bất đẳng thức. Bất phương trình

Sử dụng dấu bất đẳng thức để viết các mệnh đề sau:

a

 \(x\) là số dương

Giải chi tiết:

\(x > 0\)

b

\(y\) là số không âm

Giải chi tiết:

\(y  ≥ 0\)

c

Với mọi số thực \(α, \,  | α|\) là số không âm

Giải chi tiết:

\(∀ α ∈\mathbb R, | α|≥ 0\)

d

Trung bình cộng của hai số dương \(a\) và \(b\) không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng.

Giải chi tiết:

Đề bài

Trong các suy luận sau, suy luận nào đúng?

(A)\(\left\{ \matrix{x < 1 \hfill \cr y < 1 \hfill \cr} \right. ⇒ xy<1\)

(B) \(\left\{ \matrix{x < 1 \hfill \cr y < 1 \hfill \cr} \right.⇒ {x \over y} <1\)

(C)\(\left\{ \matrix{0 < x < 1 \hfill \cr y < 1 \hfill \cr} \right.⇒  xy<1\)

(D) \(\left\{ \matrix{x < 1 \hfill \cr y < 1 \hfill \cr} \right.⇒ x – y < 0.\)

Lời giải chi tiết

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, hãy vẽ đồ thị hai hàm số: \(y =f(x) = x+1\) và \(y = g(x) =3-x\) và chỉ ra các giá trị nào của x thỏa mãn.

Kiểm tra lại kết quả bằng cách giải phương trình, bất phương trình.

a

\(f(x)=g(x)\)

Phương pháp giải:

+) Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất.

+) Kiểm tra lại bằng cách giải các bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Lời giải chi tiết:

Vẽ đồ thị:

- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = x + 1 qua hai điểm (0; 1) và (-1; 0).

Đề bài

Điều kiện của một bất phương trình là gì? Thế nào là hai bất phương trình tương đương?

Lời giải chi tiết

+ Điều kiện của bất phương trình là các điều kiện của ẩn \(x\) sao cho các biểu thức của bất phương trình có nghĩa.

+ Hai bất phương trình là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

+ Biến đổi một bất phương trình thành một bất phương trình có cùng tập nghiệm gọi là phép biến đổi tương đương.

Đề bài

Phát biểu định lí về dấu của tam thức bậc hai.

Lời giải chi tiết

Cho tam thức bậc hai: \(f(x) = ax^2+bx+c (a ≠0)\)

+) Nếu \(Δ<0\) thì \(f(x)\) cùng dấu vơi hệ số \(a\) với mọi \(x\in \mathbb R. \) hay \(a.f(x)>0, ∀\,x\in \mathbb R\)

+) Nếu \(Δ=0\) thì \(f(x)\) cùng dấu với a khi \(x \ne  - \dfrac{b}{{2a}}\) hay \(a.f(x) >0, \, ∀x\in \mathbb R \backslash\left\{{{ - b} \over {2a}}\right\}\)

+) Nếu \(Δ>0\) thì

i) f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x₁ hoặc x > x₂

a

Bằng cách sử dụng hằng đẳng thức \(a^2-b^2= (a-b)(a+b),\) hãy xét dấu \(f(x)= x^4– x^2+6x – 9\) và \(g(x) = x^2– 2x - {4 \over {{x^2} - 2x}}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

f(x) = x⁴ – x² + 6x – 9 = x⁴ – (x² – 6x +9) = x⁴– (x-3)²

= (x² –x + 3).(x² + x - 3)

+ Tam thức x² – x + 3 có Δ = -11 < 0, a = 1 > 0 nên x² – x + 3 > 0 với ∀ x ∈ R.

Đề bài

Biểu diễn hình học  tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

 \(\left\{ \matrix{3x + y \ge 9 \hfill \cr x \ge y - 3 \hfill \cr 2y \ge 8 - x \hfill \cr y \le 6 \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết

Hệ đã cho tương đương với 

\(\left\{ \matrix{
y \ge - 3x + 9 \hfill \cr
y \le x + 3 \hfill \cr
y \ge {{ - x} \over 2} + 4 \hfill \cr
y \le 6 \hfill \cr} \right.\)

Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ các đường thẳng:

Đề bài

Bất phương trình \((x+1) \sqrt x ≤ 0\) tương đương với bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?

(A). \(\sqrt {x{{(x + 1)}^2}}  \le 0\)

(B). \((x+1) \sqrt x<0\)

(C). \((x+1)^2\sqrt x ≤ 0\)

(D). \((x+1)^2\sqrt x < 0\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có chung tập nghiệm.

Lời giải chi tiết

Giải bpt \(\left( {x + 1} \right)\sqrt x  \le 0\).

ĐK: \(x \ge 0\).

Đề bài

Chỉ ra hệ bất phương trình nào vô nghiệm trong các hệ bất phương trình sau:

(A) \(\left\{ \matrix{{x^2} - 2x \le 0 \hfill \cr 2x + 1 < 3x + 2 \hfill \cr} \right.\)

(B) \(\left\{ \matrix{{x^2} - 4 > 0 \hfill \cr {1 \over {x + 2}} < {1 \over {x + 1}} \hfill \cr} \right.\)

(C) \(\left\{ \matrix{{x^2} - 5x + 2 < 0 \hfill \cr {x^2} + 8x + 1 \le 0 \hfill \cr} \right.\)

(D) \(\left\{ \matrix{|x - 1| \le 2 \hfill \cr |2x + 1| \le 3 \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết