Bài 3. Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Đề bài

Hãy phát biểu định lí cô sin bằng lời.

Lời giải chi tiết

Bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích hai cạnh đó nhân cô sin góc xen giữa.

Đề bài

Cho tam giác ABC có a = 7cm, b = 8cm, c = 6cm. Hãy tính độ dài đường trung tuyến m_a của tam giác ABC đã cho.

Lời giải chi tiết

\(\eqalign{
& m_a^2 = {{2({b^2} + {c^2}) - {a^2}} \over 4} = {{2({8^2} + {6^2}) - {7^2}} \over 4} = {{151} \over 4} \cr
& \Rightarrow {m_a} = {{\sqrt {151} } \over 2} \cr} \)

Đề bài

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Hãy tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định lý sin \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

Lời giải chi tiết

Theo định lí sin ta có:

\({a \over {\sin A}} = 2R \Rightarrow R = {a \over {2\sin A}}\)

Tam giác ABC đều nên A = 60⁰

Đề bài

Dựa vào công thức (1) và định lý sin. Hãy chứng minh: \(S = {{abc} \over {4R}}\)

Lời giải chi tiết

Theo định lý Sin, ta có:

\({c \over {\sin C}} = 2R \Rightarrow \sin C = {c \over {2R}}\)

Khi đó:

\(S = {1 \over 2}ab.\sin C = {1 \over 2}ab.{c \over {2R}} = {{abc} \over {4R}}\)

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(\widehat{B}= 58^0\) và cạnh \(a = 72 cm\). Tính \(\widehat{C}\), cạnh \(b\), cạnh \(c\) và đường cao \(h_a\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Đỉnh lý tổng 3 góc trong một tam giác: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0.\)

+) Dựa vào công thức lượng giác của các góc nhọn trong tam giác vuông để làm tính các cạnh và chiều cao cần tìm của tam giác.

Lời giải chi tiết

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat{A}  = 120^0\) cạnh \(b = 8cm\) và \(c = 5cm\). Tính cạnh \(a\), và góc  \(\widehat{B}\), \(\widehat{C}\) của tam giác đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Định lý hàm số \( \cos: \, \, a^2=b^2+c^2-2bc.\cos A.\)

+) Định lý hàm số \(\sin:  \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.\)

+) Tổng ba góc trong một tam giác: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0. \)

Lời giải chi tiết

Ta có   

Đề bài

Tam giác \(ABC\) có  \(\widehat{A} = 120^0\). Tính cạnh \(BC\) cho biết cạnh \(AC = m\) và \(AB = n\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Định lý hàm số \( \cos: \, \, a^2=b^2+c^2-2bc.\cos A.\)

Lời giải chi tiết

Áp dụng định lý hàm số \(\cos\) ta có:

Tính góc lớn nhất của tam giác \(ABC\) biết:

a

 Các cạnh \(a = 3cm, \, b = 4cm,\, c = 6cm.\)

Phương pháp giải:

+) Áp dụng định lý: Trong tam giác có góc đối diện với cạnh lớn nhất là góc lớn nhất.

+) \(\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(c > b > a \Rightarrow \widehat{C} \) là góc lớn nhất của tam giác \(ABC.\)

\(\cos \widehat{C} = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\) \(= \frac{3^2+4^2 -6^2}{2.3.4}= \frac{-11}{24}≈  -0,4583\)    

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(AB = a, BC = b ,BD = m\), và \(AC = n\). Chứng minh rằng :

$${m^2} + {n^2} = 2({a^2} + {b^2})$$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Công thức đường trung tuyến: \( m_a^2=\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}.\)

Lời giải chi tiết

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Tam giác ABD có AO là đường trung tuyến.

Đề bài

Muốn đo chiều cao của tháp Chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận, người ta lấy hai điểm \(A\) và \(B\) trên mặt đất có khoảng cách \(AB = 12m\) cùng thẳng hàng với chân \(C\) của tháp để đặt hai giác kế. Chân của giác kế có chiều cao \(h = 1,3m\). Gọi \(D\) là đỉnh tháp và hai điểm \(A_1, \, B_1\) cùng thẳng  hàng với \(C_1\) thuộc chiều cao \(CD\) của tháp. Người ta đo được \(\widehat {D{A_1}{C_1}} = {49^0}\) và \(\widehat {D{B_1}{C_1}} = {35^0}.\) Tính chiều cao của  \(CD\) của tháp đó.