Bài 3. Công thức lượng giác

Đề bài

Hãy chứng minh công thức sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb.

Lời giải chi tiết

\(\eqalign{
& \sin (a + b) = \cos \left[ {{\pi \over 2} - (a + b)} \right] = \cos \left[ {({\pi \over 2} - a) - b)} \right] \cr
& = \cos ({\pi \over 2} - a)cos\,b\, + sin({\pi \over 2} - a)\sin b \cr
& = \sin \,a\,\cos b\, + \,\cos a\sin b \cr} \)

Đề bài

Bằng cách đặt u = a – b, v = a + b, hãy biến đổi cosu + cosv, sinu + sinv thành tích.

Lời giải chi tiết

Ta đặt:

Tính

a

\(\cos(α +  \dfrac{\pi}{3}),\) biết \(\sinα =  \dfrac{1}{\sqrt{3}}\) và \(0 < α <  \dfrac{\pi }{2}.\)

Phương pháp giải:

+) Với \(0 < \alpha  < \dfrac{\pi }{2}\) ta có: \(\sin \alpha >0, \, \, \cos \alpha >0.\)

+) Với \( \dfrac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) ta có: \(\sin \alpha >0, \, \, \cos \alpha < 0.\)

+) \(\sin^2 \alpha +\cos^2 \alpha =1. \)

+) \({\tan ^2}x + 1 = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\)

+)  \({\cot ^2}x + 1 = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}.\)

Chứng minh các đẳng thức

a

\( \dfrac{\cos(a-b)}{\cos(a+b)}=\dfrac{\cot a \cot b+1}{\cot a \cot b-1}\)

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức:

+) \( \cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .\)

+) \( \cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta .\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức \(\cos (a+b)\) với VT sau đó chia cả tử và mẫu cho \(\sin a \sin b\) ta được:

Đề bài

Cho \(\displaystyle \sin 2a =  - {5 \over 9}\) và \(\displaystyle {\pi  \over 2} < a < π\).

Tính \(\displaystyle \sin a\) và \(\displaystyle \cos a.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Với \(\dfrac{{\pi }}{2} < a < \pi\) ta có \(\sin a > 0, \, \, \cos a < 0.\)

+) \(\sin^2 \alpha +\cos^2 \alpha =1. \)

+) \(\sin 2a = 2\sin a.\cos a.\)

+) \(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a \) \(= 2{\cos ^2}a - 1\)\( = 1 - 2{\sin ^2}a.\)

+) \(\sin^2 a = \dfrac{{1 - \cos 2a}}{2}.\)

Đề bài

Rút gọn biểu thức \(\displaystyle A = {{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \sin 3{\rm{x}} + \sin 5{\rm{x}}} \over {{\mathop{\rm cosx}\nolimits}  + \cos 3x + \cos5x}}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng các công thức: 

\(\begin{array}{l}
+ )\;\;\sin a + \sin b = 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}.\\
+ )\;\;\cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}.\\
+ )\;\;\tan a = \dfrac{{\sin a}}{{\cos a}}.
\end{array}\)

Lời giải chi tiết