Bài 1. Bất đẳng thức

Chọn dấu thích hợp (=, <, >) để khi điền vào chỗ trống ta được một mệnh đề đúng.

a

\(2\sqrt 2 ...3\)

Lời giải chi tiết:

\(2\sqrt 2 < 3\)

(vì \(8 < 9 \Rightarrow \sqrt 8  < \sqrt 9  \Rightarrow 2\sqrt 2  < 3\))

b

\(\dfrac{4}{3}...\dfrac{2}{3}\)

Lời giải chi tiết:

\(\dfrac{4}{3}>\dfrac{2}{3}\)

c

\(3 + 2\sqrt 2 ...{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2}\)

Lời giải chi tiết:

Đề bài

Nêu ví dụ áp dụng một trong các tính chất trên.

Lời giải chi tiết

\( - 5x \le 10\) \( \Leftrightarrow \left( { - 5x} \right).\left( { - \dfrac{1}{5}} \right) \ge 10.\left( { - \dfrac{1}{5}} \right) \) \(\Leftrightarrow x \ge  - 2\)

Nhắc lại định nghĩa giá trị tuyệt đối và tính giá trị tuyệt đối của các số sau:

a

\(0\)

Lời giải chi tiết:

Giá trị tuyệt đối của một số là khoảng cách của số đó đến điểm 0 trên trục số nằm ngang.

\(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}
a\,khi\,a \ge 0\\
- a\,khi\,a < 0
\end{array} \right.\)

\(\left| 0 \right| = 0\)

b

\(1,25\)

Lời giải chi tiết:

\(\left| {1,25} \right| = 1,25\)

c

Đề bài

Cho số \(x > 5\), số nào trong các số sau đây là nhỏ nhất?

\(A=\dfrac{5}{x};\)                  \(B=\dfrac{5}{x}+1;\)        

\(C=\dfrac{5}{x}-1;\)           \(D=\dfrac{x}{5}.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

So sánh các số đã cho với \(0\) và kết luận.

Lời giải chi tiết

Với \(x > 5\) thì \(\dfrac{5}{x} > 0\) và \(5 < x \Rightarrow \dfrac{5}{x} < \dfrac{x}{x} \Leftrightarrow \dfrac{5}{x} < 1\) hay \(0<A<1\)

 Chứng minh rằng: 

\({x^3} + {\rm{ }}{y^3} \ge {\rm{ }}{x^2}y{\rm{ }} + {\rm{ }}x{y^2}\), \(∀x ≥ 0, ∀y ≥ 0\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng từ bất đẳng thức \((x - y)^2\ge 0\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \((x - y)^2\ge 0\Leftrightarrow {x^2} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}2xy{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}xy{\rm{ }} \ge xy\)

Do \(x ≥ 0, y ≥ 0\) \(\Rightarrow x + y ≥ 0\)

Ta có

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), trên các tia \(Ox, Oy\) lần lượt lấy các điểm \(A\) và \(B\) thay đổi sao cho đường thẳng \(AB\) luôn tiếp xúc với đường tròn tâm \(O\) bán kính \(1\). Xác định tọa độ của \(A\) và \(B\) để đoạn \(AB\) có độ dài nhỏ nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng hệ quả: Hai số dương bất kì có tích không đổi thì tổng đạt giá trị nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.

BĐT Cô si: Cho hai số dương a, b. Khi đó \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \).

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\).