ÔN TẬP CUỐI NĂM ĐẠI SỐ - TOÁN 10

Đề bài

Hãy phát biểu các khẳng định sau đây dưới dạng điều kiện cần và đủ.

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) thì \(BC^2= AB^2+AC^2\)

Tam giác \(ABC\) có các cách cạnh thỏa mãn hệ thức  \(BC^2 = AB^2+AC^2\) thì vuông tại \(A.\)

Lời giải chi tiết

Điều kiện cần và đủ để tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) là các cạnh của nó thỏa mãn hệ thức: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)

Đề bài

Phát biểu quy tắc xét dấu một nhị thức bậc nhất. Áp dụng quy tắc đó để giải bất phương trình sau:

\(\displaystyle f(x) = {{(3x - 2)(5 - x)} \over {(2 - 7x)}} \ge 0.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Quy tắc xét dấu một nhị thức dựa trên định lí :

“Nhị thức \(f(x) = ax + b (a≠0)\) có dấu cùng với hệ số \(a\) khi \(x\)  lấy giá trị trong khoảng \(({{ - b} \over a}, + \infty )\) và trái dấu với hệ số \(a\) khi \(x\) lấy các giá trị thuộc khoảng \(( - \infty ,{{ - b} \over a})\)”.

Đề bài

Nêu các tính chất của bất đẳng thức. Áp dụng một trong các  tính chất đó, hãy so sánh các số \({2^{3000}}\) và \({3^{2000}}\).

Lời giải chi tiết

- Các tính chất của bất đẳng thức

TC1. ( Tính chất bắc cầu): \(\left\{ \matrix{A < B \hfill \cr B < C \hfill \cr} \right. \Rightarrow A < C\)

TC2. (Quy tắc cộng): \(A < B ⇔ A + C < B + C\)

TC3. (Quy tắc cộng hai bất đẳng thức dùng chiều) \(\left\{ \matrix{A < B \hfill \cr C < D \hfill \cr} \right. \Rightarrow A + C < B + D\)

Đề bài

Nêu cách giải hệ hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn và giải hệ: \(\left\{ \matrix{2x + y \ge 1 \hfill \cr x - 3y \le 1 \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết

Cách giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

- Biểu diễn hình học miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ.

- Tìm miền giao của các tập nghiệm trên hình vẽ.

Áp dụng:

+ Ta dựng đường thẳng \((d): 2x + y = 1\) (tức là vẽ đồ thị hàm số \(y = -2x + 1\)).

Cho phương trình: \(mx^2– 2x – 4m – 1 = 0\)

a

Chứng minh rằng với mọi giá trị \(m≠0\) phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Phương pháp giải:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta ' > 0.\)

Lời giải chi tiết:

\(mx^2– 2x – 4m – 1 = 0\)

\(\eqalign{&  \, \Delta ' = {\rm{ }}1 + m\left( {4m + 1} \right) \cr&= 4{m^2} + m + 1 \cr } \)

Chứng minh các bất đẳng thức:

a

\(5(x-1) < x^5– 1< 5x^4(x-1)\), biết \(x – 1 > 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

Vì

\(\begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1} \right)\\ = {x^5} - {x^4} + {x^4} - {x^3} + {x^3} - {x^2} \\+ {x^2} - x + x - 1\\ = {x^5} - 1\end{array}\)

b

\(x^5+ y^5– x^4y – xy^4≥ 0\), biết \(x + y ≥ 0\)

Lời giải chi tiết:

a

Xét dấu biểu thức: \(f(x) = 2x(x+2) – (x+2)(x+1).\)

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai: “Tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt thì rong khoảng hai nghiệm trái dấu với \(a\), ngoài khoảng hai nghiệm cùng dấu với \(a\)”.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = 2x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\\ = 2{x^2} + 4x - \left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\\ = {x^2} + x - 2\end{array}\)

Rút gọn các biểu thức sau:

a

\(\displaystyle {{1 + \sin 4a - \cos 4a} \over {1 + \cos 4a + \sin 4a}}\)

Lời giải chi tiết:

Rút gọn

a

\(\displaystyle \cos {x \over 5}\cos {{2x} \over 5}\cos {{4x} \over 5}\cos {{8x} \over 5}\)

Lời giải chi tiết:

Nhân biểu thức với \(\sin {x \over 5}\),ta có:

Đề bài

Không sử dụng máy tính, hãy tính:

\(\displaystyle A={{\sin {{40}^0} - \sin {{45}^0} + \sin {{50}^0}} \over {\cos {{40}^0} - \cos {{45}^0} + \cos {{50}^0}}} - {{6(\sqrt 3  + \tan {{15}^0})} \over {3 - \sqrt 3 \tan {{15}^0}}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chú ý rằng:  \(\sin{45^0} = {\rm{ }}\cos{45^0},{\rm{ }}\sin{40^0} = {\rm{ }}\cos{50^0},\)\(\cos{40^0}=\sin{50^0} \)

Lời giải chi tiết

Ta có: