Bài 1. Phương trình đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng \(\Delta\) là đồ thị của hàm số: \(y = {1 \over 2}x\)

a

Tìm tung độ của hai điểm M_o và M nằm trên Δ, có hoành độ lần lượt là 2 và 6.

Phương pháp giải:

Thay tọa độ các điểm vào công thức hàm số.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& x = 2 \Rightarrow y = {1 \over 2}x = 1 \Rightarrow {M_0}(2,1) \cr 
& x = 6 \Rightarrow y = {1 \over 2}x = 3 \Rightarrow {M_0}(6;\,3) \cr} \)

b

Đề bài

Tính hệ số góc của đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \, = \,(-1;\,\sqrt 3 )\)

Lời giải chi tiết

Hệ số góc của đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\displaystyle \overrightarrow u \, = \,(-1;\,\sqrt 3 )\)

\(\displaystyle k = {{{u_2}} \over {{u_1}}} = {{\sqrt 3 } \over { - 1}} =  - \sqrt 3 \)

Đề bài

Hãy chứng minh nhận xét trên.

Lời giải chi tiết

Chọn : 

\(\left\{ \matrix{
N(0;\,{{ - c} \over b}) \in \Delta \hfill \cr
M({{ - c} \over a};\,0)\, \in \Delta  \hfill \cr} \right.\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \,({c \over a};\,{{ - c} \over b})\)

Ta thấy: \(\overrightarrow n \,.\,\overrightarrow {MN} \) \(=a.\dfrac{c}{a} + b.\left( { - \dfrac{c}{b}} \right) = c - c = 0\)

Vậy \(\overrightarrow n  = \,(a,\,b)\) là vecto pháp tuyến của đường thẳng

Đề bài

Trong mặt phẳng Oxy, hãy vẽ các đường thẳng có phương trình sau đây:

d₁: x – 2y = 0;

d₂: x = 2;

d₃: y + 1 = 0;

\({d_4}:\,{x \over 8} + {y \over 4} = 1\)

Lời giải chi tiết

Đường thẳng \({d_1}\) đi qua các điểm \(\left( {0;0} \right)\) và \(\left( {2;1} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}\) đi qua các điểm \(\left( {2;0} \right)\) và song song với trục \(Oy\).

Đề bài

Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I và cạnh AB = 1, AD = √3. Tính số đo các góc \(\widehat {AID};\,\widehat {DIC}\)

Lời giải chi tiết

Xét ΔABD vuông tại A có:

\(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = 2\)

Do ABCD là hình chữ nhật tâm I nên:

Lập phương trình tham số của đường thẳng \(d\) trong mỗi trường hợp sau:

a

\(d\) đi qua điểm \(M(2; 1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (3;4).\)

Phương pháp giải:

+) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(x_0; y_0)\) và có vecto chỉ phương \(\vec{u}=(a; \, b)\) có phương trình tham số: \(\left\{\begin{matrix} x = x_0 + at& \\ y = y_0 +bt & \end{matrix}\right..\)

+) Đường thẳng \(d\) có VTPT là \(\vec{n}=(a; \, b)\) thì có VTCP là \(\vec{u}=(-b; \, a)\) hoặc \(\vec{u}=(b; \, -a).\)

Cho tam giác \(ABC\), biết \(A(1; 4), B(3; -1)\) và \(C(6; 2).\)

a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng \(AB, BC\), và \(CA.\)

b) Lập phương trình tổng quát của đường cao \(AH\) và trung tuyến \(AM.\)

a

Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng \(AB, BC\), và \(CA.\)

Phương pháp giải:

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A,B\):

+ Tìm tọa độ \(\overrightarrow {AB} \) suy ra VTPT của \(AB\).

+ PTTQ: \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:

a

\(d_1: 4x - 10y + 1 = 0 \);

\(d_2 : x + y + 2 = 0\)

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng: \({d_1}:\;\;ax + by + c = 0,\) \({d_2}:\;\;a'x + b'y + c' = 0.\) Khi đó: 

+) \({d_1}  \cap  {d_2}:\;\;\dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}.\)

+) \({d_1}//{d_2}:\;\;\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}.\)

+) \({d_1} \equiv {d_2}:\;\;\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}.\)

Lời giải chi tiết:

Đề bài

Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) lần lượt có phương trình: \(d_1: 4x - 2y + 6 = 0\) và \(d_2: x - 3y + 1 = 0\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho hai đường thẳng: \({d_1}:\;{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0,\) \({d_2}:\;{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0.\) 

Gọi \( \varphi \) là góc giữa hai đường thẳng trên. Khi đó:

\[\cos  \varphi = \dfrac{|a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}|}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}\sqrt{{a_{2}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}.\]

Lời giải chi tiết

Đề bài

Tìm bán kính của đường tròn tâm \(C(-2; -2)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(∆ : 5x + 12y - 10 = 0. \)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng để tính bán kính: \(R = d\left( {C;\;\Delta } \right).\)

Chú ý: \(d\left( {{M_0},\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Lời giải chi tiết