Bài 3. Phương trình đường Elip

Đề bài

Quan sát mặt nước trong cốc nước cầm nghiêng (h.3.18a). Hãy cho biết đường được đánh dấu bởi mũ tên có phải là đường tròn hay không ?

Lời giải chi tiết

Đường được đánh dấu bởi mũ tên không phải là đường tròn.

Đề bài

Trong phương trình (1) hãy giải thích vì sao ta luôn đặt được \(b^2=a^2-c^2\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tìm tọa độ \(B_2\).

- Sử dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác kết hợp điều kiện điểm thuộc elip để suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết

Do \(F_1(-c;0),F_2(c;0)\) nên \(OF_1=OF_2=c\)

\(B_1(0;-b),B_2(0;b)\)

Xác định độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và vẽ các elip có phương trình sau:

a

\(\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9}= 1.\)

Phương pháp giải:

Cho phương trình ellip: \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{b^2} = 1.\)

Khi đó:

+) Độ dài trục lớn là: \(2a\) và độ dài trục nhỏ là \(2b.\)

+) Tọa độ các đỉnh là: \({A_1}\left( { - a;\;0} \right),\;{A_2}\left( {a;\;0} \right),\;{B_1}\left( { - b;\;0} \right),\)\(\;{B_2}\left( {b;\;0} \right).\)

Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:

a

Elip đi qua các điểm \(M(0; 3)\) và \(N( 3; \dfrac{-12}{5}).\)

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng: \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)

Thay tọa độ các điểm M, N thuộc ellip vào phương trình ellip để tìm a và b

Lời giải chi tiết:

Phương trình chính tắc của elip có dạng: \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)

Elip đi qua \(M(0; 3)\)

Đề bài

Cho hai đường tròn \({C_1}({F_1};{R_1})\)  và \({C_2}({F_2};{R_2})\). \(C_1\) nằm trong \(C_2\) và \(F_1≠  F_2\). Đường tròn \((C)\)  thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với \(C_1\) và tiếp xúc trong với \(C_2\).Hãy chứng tỏ rằng tâm \(M\) của đường tròn \((C)\) di động trên một elip.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tính \(MF_1,MF_2\) theo các bán kính, chú ý điều kiện tiếp xúc ngoài, tiếp xúc trong.

- Tính \(MF_1+MF_2\) và sử dụng định nghĩa elip để suy ra đpcm.

Lời giải chi tiết