Bài 3. Tích của vectơ với một số

Đề bài

Cho vectơ \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \) . Xác định độ dài và hướng của vectơ  \(\overrightarrow a  + \overrightarrow a\)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\overrightarrow a  + \overrightarrow a  = 2\overrightarrow a \)

Độ dài của vecto \(\overrightarrow a  + \overrightarrow a\) bằng 2 lần độ dài của vecto \(\overrightarrow a\)

Hướng của vecto \(\overrightarrow a  + \overrightarrow a\) cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a\) (vì 2 > 0).

Đề bài

Hãy sử dụng mục 5 của bài 2 để chứng minh các khẳng định trên.

Lời giải chi tiết

a) Với điểm M bất kì, ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} \cr&= \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} \cr
& = 2\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} \cr} \)

Do \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên: \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  =  \overrightarrow 0  \)

Do đó:

Đề bài

Cho \(AK\) và \(BM\) là hai trung tuyến của tam giác \(ABC\). Hãy phân tích các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} \) theo hai vectơ sau \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {AK} ,\overrightarrow v  = \overrightarrow {BM} .\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Sử dụng tính chất của đường trung tuyến.

+) Với 3 điểm \(A, \, \, B, \, \, C\) bất kì ta luôn có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} .\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(AM\) là trung tuyến của tam giác \(ABC\)  và \(D\) là trung điểm của đạn \(AM\). Chứng minh rằng:

a

\(2\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow 0 \)

Phương pháp giải:

Với \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có:

+) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 .\)

+) Với mọi điểm \(O\) bất kì ta có: \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = 2\overrightarrow {OM} .\)

Lời giải chi tiết:

Đề bài

Cho hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\). Tìm điểm \(K\) sao cho:\[3\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}.\]

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Với 3 điểm \(A, \, B, \, C\) ta có \(\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} \) thì \(A, \, B, \, C\) thẳng hàng.

+) Nếu \(k>0\) thì \(\overrightarrow {AB} \) và \( \overrightarrow {AC}\) cùng hướng.

+) Nếu \(k<0\) thì \(\overrightarrow {AB} \) và \( \overrightarrow {AC}\) ngược hướng.

Lời giải chi tiết

Đề bài

Cho lục giác \(ABCDEF\). Gọi \(M, N, P, Q, R, S\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DE, EF, FA\). Chứng minh rằng hai tam giác \(MPR\) và \(NQS\) có cùng trọng tâm.

Lời giải chi tiết

\(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên ta có: \(\overrightarrow {MN}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \)

Tương tự ta có: