Ôn tập chương I - Vectơ

Đề bài

Cho lục giác đều \(ABCDEF\) có tâm \(O\). Hãy chỉ ra các vectơ bằng \(\overrightarrow {AB} \) có điểm đầu và điểm cuối là \(O\) hoặc các đỉnh của lục giác.

Lời giải chi tiết

Trên hình vẽ, ta thấy các vecto: \(\overrightarrow {FO} ,\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {ED} \) là các vectơ bằng \(\overrightarrow {AB} \).

Đề bài

Tứ giác \(ABCD\) là hình gì nếu \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \) và \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \) suy ra \(AB//DC\) và \(AB=DC\) do đó \(ABCD\) là hình bình hành .                    

\(|\overrightarrow {AB} | = |\overrightarrow {BC} |\) suy ra \(AB=BC\), hình bình hành \(ABCD\) có \(2\) cạnh kề  bằng nhau do đó \(ABCD\) là hình thoi (theo dấu hiệu nhận biết hình thoi).

Cho tam giác đều \(ABC\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Hãy xác định các điểm \(M, N, P\) sao cho:

a

\(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} \)

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

Kéo dài \(OC\) cắt đường tròn tại điểm \(M\).

MC là đường kính nên \(\widehat {MBC} = {90^0} \Rightarrow MB \bot BC\).

Mà tam giác ABC đều nên \(AO\bot BC\).

Do đó MB//OA (1)

Đề bài

Cho sáu điểm \(M, N, P, Q, R, S\) bất kì. Chứng minh rằng :

\(\overrightarrow {MP}  + \overrightarrow {NQ}  + \overrightarrow {RS}  \)\(= \overrightarrow {MS}  + \overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {RQ} .\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xen điểm S, P, Q lần lượt vào các véc tơ \(\overrightarrow {MP}  ,\overrightarrow {NQ}  ,\overrightarrow {RS}  \) và tính tổng.

Lời giải chi tiết

Ta có:

Đề bài

Chứng minh rằng nếu \(G\) và \(G’\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(ABC\) và \(A’B’C’\) bất kì thì: \(3\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'}. \)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xen cả hai điểm G, G' vào các véc tơ \(\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {CC'} \) để tính tổng.

Nhóm các véc tơ thích hợp, sử dụng tính chất trọng tâm \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

Cho \(\overrightarrow a= (2; 1);\overrightarrow b =(3; - 4);\) \(\overrightarrow c =( - 7; 2)\)

a

Tìm tọa độ của vecto \(\overrightarrow u  = 3\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b  - 4\overrightarrow c \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow a = \left( {{x_1};{y_1}} \right),\overrightarrow b = \left( {{x_2};{y_2}} \right)\\
\Rightarrow k\overrightarrow a \pm l\overrightarrow b = \left( {k{x_1} \pm l{x_2};k{y_1} \pm l{y_2}} \right)
\end{array}\)

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?

a

Điểm \(A\) nằm trên trục hoành thì có hoành độ bằng \(0\)

Lời giải chi tiết:

Sai vì các điểm nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng \(0\).

b

\(P\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi hoành độ của \(P\) bằng trung bình cộng các hoành độ của \(A\) và \(B\).

Lời giải chi tiết:

Sai.

Đề bài

Cho lục giác đều \(ABCDEF\) tâm \(O\). Số các vecto khác \(\overrightarrow 0 \) cùng phương với \(\overrightarrow {OC} \) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác bằng:

A) \(4\)                                      B) \(6\)

C) \(7\)                                      D) \(8\)

Lời giải chi tiết

Có \(6\) vectơ cùng phương với \(\overrightarrow {OC} \) mà điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác:

Đề bài

Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 3, BC = 4\). Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AC} \) là:

A) \(5\)                                  B) \(6\)

C) \(7\)                                  D) \(9\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC\)

\(ABCD\) là hình chữ nhật nên tam giác ABC vuông tại B.

Áp dụng định lý pitago ta có:

Đề bài

Cho hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\). Điều kiện để điểm \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) là:

A. \(IA = IB\)                                    

B. \(\overrightarrow {IA}  = \overrightarrow {IB} \)

C. \(\overrightarrow {IA}  =  - \overrightarrow {IB} \)                                

D. \(\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {BI} \)

Lời giải chi tiết

C đúng.

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD\). Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {BC} \)

B. \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB} \)

C. \(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {CD} \)

D. \(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {CD} \)

Lời giải chi tiết

Đề bài

Cho \(\overrightarrow u  = (3; - 2);\overrightarrow v  = (1; 6)\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v \) và \(\overrightarrow a  = \left( { - 4;\,4} \right)\) ngược hướng

B.  \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng phương

C. \(\overrightarrow u  - \overrightarrow v \) và \(\overrightarrow b  = \left( {6; - 24} \right)\) cùng hướng

D. \(2\overrightarrow u  + \overrightarrow v \) và \( \overrightarrow v \) cùng phương

Lời giải chi tiết

Đề bài

Cho bốn điểm \(A(1, 1); B(2, -1); C(4, 3); D(3, 5)\). Chọn mệnh đề đúng.

A. Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành

B. Điểm \(G(2;{5 \over 3})\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\)

C. \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \)

D. \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) cùng phương

Lời giải chi tiết

Ta có:

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\). Đặt \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {BC} ;\overrightarrow b  = \overrightarrow {AC} \)

Các cặp vecto nào sau đây cùng phương?

A. \(\left\{ \matrix{2\overrightarrow a + \overrightarrow b \hfill \cr \overrightarrow a + 2\overrightarrow b \hfill \cr} \right.\)   

B. \(\left\{ \matrix{\overrightarrow a - 2\overrightarrow b \hfill \cr \overrightarrow {2a} - \overrightarrow b \hfill \cr} \right.\)

Đề bài

Cho \(M(3;-4).\) Kẻ \(MM_1\) vuông góc với \(O x, \, \, MM_2\) vuông góc với \(Oy.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A) \(\overline {O{M_1}}  =  - 3\)

B) \(\overline {O{M_2}}  = 4\)

C) \(\overrightarrow {O{M_1}}  - \overrightarrow {O{M_2}} \) có tọa độ \((-3; -4)\)

D) \(\overrightarrow {O{M_1}}  + \overrightarrow {O{M_2}} \) có tọa độ là \((3; -4)\)

Lời giải chi tiết

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho \(A(5; 2); B(10; 8)\). Tọa độ của vecto \(\overrightarrow {AB} \) là:

A. \((15; 10)\)                        B. \((2; 4)\)

C.\((5; 6)\)                             D. \((50; 16)\)

Lời giải chi tiết

Tọa độ của vectơ cần tìm là: \(\overrightarrow {AB}  = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}) \) \(=(10-5;8-2)= (5; 6)\)

Vậy chọn C.

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa \(Oxy\) cho bốn điểm \(A(3; -2); B(7; 1); C(0; 1), D(-8; -5).\) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} \) đối nhau

B. \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} \) cùng phương nhưng ngược hướng

C. \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} \) cùng phương và cùng hướng

D. \(A,\, B,\, C,\, D\) thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\overrightarrow {AB}  =(7-3;1+2)= (4;3);\)

Đề bài

Cho \(\overrightarrow a  = (3; - 4);\overrightarrow b ( - 1;2)\) . Tọa độ của \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b \) là:

a) \((-4; 6)\)                          b) \((2; -2)\)   

c) \((4; -6) \)                           d) \((-5; -14)\)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\left\{ \matrix{
\overrightarrow a = (3; - 4) \hfill \cr
\overrightarrow b = ( - 1;2) \hfill \cr} \right. \)

\(\Rightarrow \overrightarrow a + \overrightarrow b=(3-1;-4+2) = (2; - 2)\)

Chọn B

Đề bài

Cho \(\overrightarrow a  = (5;0);\overrightarrow b  = (4;x)\) . Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương nếu số \(x\) là:

a) -5                               b) 4

c) 0                                d) -1

Lời giải chi tiết

Ta có:

Đề bài

Cho \(A(1;1); B(-2; -2); C(7; 7)\). Khẳng định nào đúng?

A. \(G(2;2)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)

B. Điểm \(B\) ở giữa hai điểm \(A\) và \(C\)

C. Điểm \(A\) ở giữa hai điểm \(B\) và \(C\)

D. Hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3; - 3} \right),\;\overrightarrow {AC}  = \left( {6;\;6} \right) \)

\(\Rightarrow \overrightarrow {AC}  =  - 2\overrightarrow {AB} \)

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm là gốc tọa độ \(O\); hai đỉnh \(A\) và \(B\) có tọa độ là \(A(-2; 2); B(3; 5)\). Tọa độ của đỉnh \(C\) là:

(A) \((-1; -7)\)                      (B) \((2; -2)\) 

(C) \((-3; -5)\)                      (D) \((1; 7)\)

Lời giải chi tiết

\(O\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên :

Đề bài

Trong hệ trục \((O; \overrightarrow i ;\overrightarrow j), \)  tọa độ của vecto \(\overrightarrow i  + \overrightarrow j \) là:

a) \((0; 1)\)                            b) \((-1; 1)\)

c) \((1; 0)\)                            d) \((1; 1)\)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\left. \matrix{
\overrightarrow i = (1; 0) \hfill \cr
\overrightarrow j = (0; 1) \hfill \cr} \right\} \)

\(\Rightarrow \overrightarrow i + \overrightarrow j =(1+0;0+1)= (1; 1)\)

Vậy chọn D.