Ôn tập chương II - Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Đề bài

Tại sao hai góc bù nhau lại có sin bằng nhau và cosin đối nhau?

Lời giải chi tiết

Gọi \(M(x_0; \, y_0)\) nằm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat {xOM} = \alpha .\)

Khi đó điểm \(M’(-x_0; \, y_0)\) trên nửa đường tròn đơn vị có \(\widehat {xOM'} = {180^0} - \alpha \) tức là \(\widehat {xOM'}\) là góc bù với \(\widehat {xOM}=\alpha.\)

Đề bài

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho vecto \(\overrightarrow a  = ( - 3;1)\) và vecto \(\overrightarrow b  = (2;2)\). Hãy tính tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b .\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tính tích vô hướng:

Với \(\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2});\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2})\)\( \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}\)

Lời giải chi tiết

Đề bài

Từ hệ thức \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\) trong tam giác, hãy suy ra định lí Py-ta-go.

Lời giải chi tiết

Ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\)

Khi góc \(A = 90^0\), suy ra \(\cos A = 0\)

Do đó ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2}- 2bc.\cos 90^0\) \(={b^2} + {c^2}- 2bc.0={b^2} + {c^2} \)

Vậy \(a^2 = b^2+c^2\) (định lí Py-ta-go).

Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng:

a

Góc \(A\) nhọn khi và chỉ khi \({a^2} < {b^2} + {c^2}\)

Lời giải chi tiết:

Theo hệ quả định lí cosin: \({\mathop{\rm cosA}\nolimits}  = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}}\).

Khi đó:

\({a^2} < {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} > 0\)

Mà \(2bc > 0\) nên \(\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} > 0\)

\( \Leftrightarrow \cos A > 0\)

\(\Leftrightarrow A\) là góc nhọn.

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(a = 12, b = 16, c = 20\). Tính diện tích \(S\)  tam giác,  chiều cao \(h_a\), các bán kính \(R, r\) của các đường tròn ngoại tiếp, nội  tiếp tam giác và đường trung tuyến \(m_a\) của tam giác.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Diện tích tam giác \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

- Chiều cao: \(S = \frac{1}{2}a{h_a} \Rightarrow {h_a} = \frac{{2S}}{a}\)

Đề bài

Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?

A. \(\sin {150^0} =  - {{\sqrt 3 } \over 2}\)

B. \(\cos {150^0} = {{\sqrt 3 } \over 2}\)

C. \(\tan {150^0} =  - {1 \over {\sqrt 3 }}\)

D. \(\cot {150^0} = \sqrt 3 \)

Lời giải chi tiết

Nếu \(90^0 < α < 180^0\) thì \(\sin α > 0\) còn các giá trị lượng giác khác của \(α\) đều nhận giá trị âm.

Do \(0^0< 150^0 < 180^0\) nên \(\sin 150^0 >0 \) (loại A)

\(\cos 150^0 < 0\) (loại B)

Đề bài

Cho \(α\) là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\sin α < 0\)

B. \(\cos α > 0\)

C. \(\tan α < 0\)

D. \(\cot α > 0\)

Lời giải chi tiết

Chọn C vì: Khi \(90^0< α < 180^0\) thì: \(\sin α > 0\) còn các giá trị lượng giác khác của \(α\) đều nhận giá trị âm.

Đề bài

Hai góc nhọn \(α\) và \(β\)  trong đó \(α < β\) . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \(\cos \alpha  < \cos \beta \)

B. \(\sin α < \sin β\)

C. \(α + β  = 90^0⇒ \cos α = \sin β\)

D. \(\tan α + \tan β  > 0\)

Lời giải chi tiết

Biểu diễn góc α, β (α < β) trên nửa đường tròn lượng giác nằm phía trên trục hoành.

Đề bài

Tam giác đều \(ABC\) có đường cao \(AH\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\sin \widehat {BAH} = {{\sqrt 3 } \over 2}\)

B. \(\cos \widehat {BAH} = {1 \over {\sqrt 3 }}\)

C. \(\sin \widehat {ABC} = {{\sqrt 3 } \over 2}\)

D. \(\sin \widehat {AHC} = {1 \over 2}\)

Lời giải chi tiết

Tam giác ABC đều nên AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác góc A.

Đề bài

Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây:

A) \(\cos 35^0> \cos 10^0\)

B) \(\sin 60^0 < \sin 80^0\)

C) \(\tan 45^0< \tan 60^0\)

D) \(\cos 45^0 = \sin 45^0\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Nhận xét: Với hai góc α và β thỏa mãn 0º < α < β < 90º ta luôn có:

cos α > cos β; sin α < sin β; tan α < tan β ; cot α > cot β

Chú ý:

Ta chứng minh nhận xét trên như sau:

Đề bài

Cho \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vecto cùng hướng và đều khác vecto \(\overrightarrow 0 \)  . Trong các kết quả sau đây, hãy chọn kết quả đúng.

A. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = |\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |\)

B.  \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\)

C. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - 1\)

D. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - |\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |\)

Lời giải chi tiết

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 5cm, BC = 13cm\).  Gọi góc \(ABC = α\) và góc \(ACB = β\). Hãy chọn kết luận đúng khi so sánh \(α\) và \(β\).

A) \( β > α \)                        B) \( β < α \)

C) \(α = β\)                        D) \(α ≤ β\)

Lời giải chi tiết

Tam giác ABC vuông tại A nên theo pitago ta có:

\(AB^2+AC^2=BC^2 \) \(\Leftrightarrow  A{C^2} =BC^2-AB^2\) \( = {13^2} - {5^2} = 144 \)

\(\Rightarrow AC = 12\)

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = a, CA = b, AB = c\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Nếu \({b^2} + {c^2} - {a^2} > 0\) thì góc \(A\) nhọn

B. Nếu \({b^2} + {c^2} - {a^2} > 0\) thì góc \(A\) tù

C. Nếu \({b^2} + {c^2} - {a^2} < 0\) thì góc \(A\) nhọn

D. Nếu \({b^2} + {c^2} - {a^2} > 0\) thì góc \(A\) vuông.

Lời giải chi tiết

Áp dụng định lý Cô sin trong tam giác ABC ta có: \(\cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}}\)

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 8cm, AC = 18cm\) và có diện tích bằng \(64cm^2\). Giá trị \(\sin A\) là:

A. \({{\sqrt 3 } \over 2}\)                               B. \({3 \over 8}\) 

C. \({4 \over 5}\)                                  D. \({8 \over 9}\)

Lời giải chi tiết

Áp dụng công thức: \(S = {1 \over 2}AB.AC.\sin A\)

\(\Rightarrow \sin A = \frac{{2S}}{{AB.AC}}={{2.64} \over {8.18}} = {8 \over 9}\)

Do đó chọn D

Đề bài

Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A. \(\sin90^0 < \sin 150^0\)

B. \(\sin 90^015’ < \sin 90^030’\)

C. \(\cos90^030’ > \cos 100^0\)

D. \(\cos 150^0 > \cos 120^0\)

Lời giải chi tiết

+ sin 90º = 1, sin 150º = 1/2

⇒ sin 90º > sin 150º (A sai)

+ sin 90º15’ = sin 89º45’;

sin 90º30’ = sin 89º30’.

Mà với 0º < α < β < 90º thì sin α < sin β

⇒ sin 89º45’ > sin 89º30’

⇒ sin 90º15’ > sin 90º30’ (B sai)

Đề bài

Tam giác \(ABC\) có \(AB = 4cm, BC = 7cm, CA = 9cm\). Giá trị của \(\cos A\) là:

A. \({2 \over 3}\)                                      B. \({1 \over 3}\)     

C. \( - {2 \over 3}\)                                   D. \({1 \over 2}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng hệ quả của định lí cosin: \(\cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}}\)

Lời giải chi tiết

Sử dụng hệ quả của định lí cosin:

\(\cos A = {{{AB^2} + {AC^2} - {BC^2}} \over {2AB.AC}} \)

Đề bài

Cho hai vecto \(\overrightarrow a  = (4;3)\)  và \(\overrightarrow b  = (1;7)\). Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là:

A. \(90^0\)                           B. \(60^0\)

C. \(45^0\)                           D. \(30^0\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức cosin của hai góc giữa hai vecto:

Đề bài

Tam giác \(ABC\) có \(A= (-1; 1); B = (1; 3)\) và \(C = (1; -1)\)

Trong các cách phát biểu sau đây, hãy chọn cách phát biểu đúng.

A. \(ABC\) là tam giác có ba cạnh bằng nhau

B. \(ABC\) là tam giác có ba góc đều nhọn

C. \(ABC\) là tam giác cân tại \(B\) (có \(BA = BC\))

D. \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính các cạnh AB, AC, BC theo công thức \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \) và nhận xét.

Đề bài

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) và nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\). Gọi \(r\) là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). Khi đó tỉ số \({R \over r}\) là:

A. \(1 + \sqrt 2\)

B. \({{2 + \sqrt 2 } \over 2}\)

C. \({{\sqrt 2  - 1} \over 2}\)

D. \({{1 + \sqrt 2 } \over 2}\)

Video hướng dẫn giải

Đề bài

Tam giác \(ABC\) có \(BC = a, CA = b, AB  = c\) và có diện tích \(S\). Nếu tăng cạnh \(BC\) lên \(2\) lần đồng thời tăng cạnh \(CA\) lên \(3\) lần và giữ nguyên độ lớn của góc \(C\) thì khi đó diện tích tam giác mới được tạo nên bằng:

A. \(2S\)                     B. \(3S\)

C. \(4S\)                     D. \(6S\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tính diện tích \(S = {1 \over 2}ab\sin C \)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(S = \frac{1}{2}ab\sin C\)