Ôn tập chương III - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Đề bài

Cho \(A(1; 2), \, \, B(-3; 1)\) và \(C(4; -2)\). Tìm tập hợp điểm \(M\)  sao cho \(M{A^2} + M{B^2} = M{C^2}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Gọi \((x; y)\) là tọa độ của điểm \(M\).

- Tính \(AM^2,BM^2,CM^2\) rồi thay vào đẳng thức đã cho tìm mối quan hệ x,y.

Lời giải chi tiết

Gọi \((x; y)\) là tọa độ của điểm \(M\).

Cho đường thẳng \(Δ: x – y + 2=0\) và hai điểm \(O(0; 0); \, A(2; 0).\)

a

Tìm điểm đối xứng của \(O\) qua \(Δ\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H(x;y)\) là hình chiếu của \(O\) trên \(Δ\), \(\overrightarrow {OH}  = (x;y)\)

\( Δ: x – y + 2 = 0\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u (1;1)\)

\(\overrightarrow {OH}  \bot \Delta  \) \(\Rightarrow 1.x + 1.y = 0 \Leftrightarrow x + y = 0\)

Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:

Đề bài

Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi đường thẳng \(3x – 4y + 12 = 0\) và \(12x+5y-7 = 0.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gọi \(\displaystyle M(x; y)\) thuộc đường phân giác của góc tạo bởi đường thẳng.

\(\displaystyle M\) thuộc đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng \(\displaystyle d_1\) và \(\displaystyle d_2\) nên cách đều hai đường thẳng đó.

Từ đố lập phương trình đường phân giác cần tìm.

Lời giải chi tiết

Tìm góc giữa hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) trong các trường hợp sau:

a

\(\Delta_1\): \(2x + y – 4 = 0\) ; \(\Delta_2\): \(5x – 2y + 3 = 0.\)

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng

\({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {{a_1};{b_1}} \right)\);

\({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {{a_2};{b_2}} \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

Đề bài

Ta biết rằng Mặt trăng chuyển động quanh Trái Đất theo một quỹ đạo là một elip mà Trái Đất là một tiêu điểm. Elip đó có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là \(769 266 km\) và \(768 106 km\). Tính khoảng cách ngắn nhất và khoảng cách dài nhất từ Trái Đất đến Mặt Trăng, biết rằng các khoảng cách đó đạt được khi Trái Đất và Mặt Trăng nằm trên trục lớn của Elip.

Lời giải chi tiết

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) với \(A(-1; 1), B(4; 7)\) và \(C(3; -2)\). Phương trình tham số của trung tuyến CM là:

A. \(\left\{ \matrix{x = 3 + t \hfill \cr y = - 2 + 4t \hfill \cr} \right.\)

B.  \(\left\{ \matrix{x = 3 + t \hfill \cr y = - 2 - 4t \hfill \cr} \right.\)

C. \(\left\{ \matrix{x = 3 - t \hfill \cr y = 4 + 2t \hfill \cr} \right.\)

D. \(\left\{ \matrix{x = 3 + 3t \hfill \cr y = - 2 + 4t \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết

Đề bài

Đường thẳng đi qua điểm \(M(1; 0)\) và song song với đường thẳng \(d: 4x + 2y + 1 = 0\) có phương trình tổng quát là:

A. \(4x + 2y + 3 = 0\) 

B. \(2x + y + 4 = 0\)

C. \(2x + y – 2 = 0\)  

D. \(x – 2y + 3 = 0\)

Lời giải chi tiết

\(d\) có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {4;2} \right)\)

\(d'//d\) nên nhận \(\overrightarrow n  = \left( {4;2} \right)\) làm VTPT.

Mà \(d'\) đi qua \(M (1; 0)\) nên:

\(4(x – 1) + 2 (y – 0) = 0 \) \(⇔ 2x + y – 2 = 0\)

Đề bài

Bán kính của đường tròn tâm \(\displaystyle I(0; 2)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\displaystyle Δ: 3x – 4y – 23 = 0\) là:

A. \(\displaystyle 15\)                                  B. \(\displaystyle 5\)     

C. \(\displaystyle {3 \over 5}\)                     D. \(\displaystyle 3\)

Lời giải chi tiết

Bán kính của đường tròn tâm \(\displaystyle I(0; 2)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\displaystyle Δ: 3x – 4y – 23 = 0\) là:

Đề bài

Cho \(d_1: x + 2y + 4 = 0\) và \(d_2: 2x – y + 6 = 0\). Số đo của góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) là:

A. \(30^0\)                              B. \(60^0\) 

C. \(45^0\)                              D. \(90^0\)

Lời giải chi tiết

Vecto pháp tuyến của \(d_1\) là \(\overrightarrow n  = \left( {1;\;2} \right)\) và của \(d_2\) là: \( \overrightarrow u  = \left( {2; - 1} \right).\) 

Đề bài

Khoảng cách từ điểm \(M(0; 3)\) đến đường thẳng  \(Δ: x\cos α + y \sin α + 3(2 - \sin α) = 0\) là:

A. \(\sqrt6\)                           B. \(6\)  

C. \(3\sin α\)                         D. \({3 \over {\sin \alpha  + \cos \alpha }}\)

Lời giải chi tiết

Khoảng cách từ điểm \(M(0; 3)\) đến đường thẳng  \(Δ: x\cos α + y \sin α + 3(2 - \sin α) = 0\) là:

Đề bài

Cho đường tròn (C): \(x^2+ y^2+ 2x + 4y – 20 = 0\)

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. (C) có tâm \(I(1; 2)\)

B. (C) có bán kính \(R = 5\)

C. (C) đi qua điểm \(M(2; 2)\)

D. (C) không đi qua \(A(1; 1)\)

Lời giải chi tiết

Ta có đường tròn \((C) )\): \(x^2+ y^2+ 2x + 4y – 20 = 0\)

\(a=-1,b=-2,c=-20\) \(R = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + 20}  = 5\)

Đường tròn có tâm \(I(-1; -2)\) và bán kính \(R = 5\) nên A sai, B đúng.

Đề bài

Cho đường tròn (C) : \(x^2+ y^2– 4x – 2y = 0\) và đường thẳng \(Δ: x + 2y + 1 = 0\)

Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng:

A. \(Δ\) đi qua tâm \((C)\)                            

B. \(Δ\) cắt \((C)\) tại hai điểm

C. \(Δ\) tiếp xúc \((C)\)                                

D. \(Δ\) không có điểm chung với \((C)\)

Lời giải chi tiết

Đề bài

Với giá trị nào của m thì phương trình sau đây là phương trình của đường tròn: \(x^2+ y^2– 2(m+2)x + 4my + 19m – 6 \)\(= 0\)

A.  \(1 < m < 2\)                               

B. \(-2 ≤ m ≤ 1\)

C. \(m < 1\)  hoặc \(m > 2\)                

D. \(m < -2\)  hoặc \(m > 1\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(a = m + 2 ; b = -2m ; c = 19m – 6\) 

Phương trình đã cho là đường tròn

Đề bài

Cho hai điểm \(A(1; 1)\) và \(B(7; 5)\). Phương trình đường tròn đường kính \(AB\) là:

A. \(x^2+ y^2 + 8x + 6y + 12 = 0\) 

B. \(x^2+ y^2- 8x - 6y + 12 = 0\) 

C. \(x^2+ y^2- 8x - 6y - 12 = 0\)   

D. \(x^2+ y^2+ 8x + 6y - 12 = 0\)  

Lời giải chi tiết

+ Tâm đường tròn là trung điểm I của đoạn thẳng AB

A(1 ; 1) ; B(7 ; 5) ⇒ I(4; 3)

+ Bán kính đường tròn

\(R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {7 - 1} \right)}^2} + {{\left( {5 - 1} \right)}^2}} }}{2} = \sqrt {13} \)

Đề bài

Cho điểm \(M(0; 4)\) và đường tròn \((C)\) có phương trình: \(x^2+ y^2- 8x – 6y + 21 = 0\)

Trong các phát biểu sau, tìm phát biểu đúng:

A. \(M\) nằm ngoài \((C)\)    

B. \(M\) nằm trên \((C)\)

C. \(M\) nằm trong \((C)\)

D. \(M\) trùng với tâm của \((C)\)

Lời giải chi tiết

Đường tròn: \(x^2+ y^2- 8x – 6y + 21 = 0\) có \(a=4;b=3;c=21\) nên có tâm \(I (4; 3)\) và bán kính \(R = \sqrt {{4^2} + {3^2} - 21}  = 2\)

Đề bài

Phương trình chính tắc của elip có hai đỉnh là \(\displaystyle (-3; 0), (3; 0)\) và hai tiêu điểm là \(\displaystyle (-1; 0), (1; 0)\) là:

A. \(\displaystyle {{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)

B. \(\displaystyle {{{x^2}} \over 8} + {{{y^2}} \over 9} = 1\)

C. \(\displaystyle {{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 8} = 1\)

D. \(\displaystyle {{{x^2}} \over 1} + {{{y^2}} \over 9} = 1\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Đề bài

Dây cung của elip (E): \(\displaystyle {{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1  (0 < b < a)\) vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm có độ dài là:

A. \(\displaystyle {{2{c^2}} \over a}\)                      B. \(\displaystyle {{2{b^2}} \over a}\)

C. \(\displaystyle {{2{a^2}} \over c}\)                      D. \(\displaystyle {{{a^2}} \over c}\)

Lời giải chi tiết

Gọi đường thẳng \(Δ\) đi qua tiêu điểm \(F_2(c; 0)\) của elip (E) và vuông góc với trục lớn.

Đề bài

Cho elip \(\displaystyle (E): 4x^2+ 9y^2= 36\). Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai:

A. \(\displaystyle (E)\) có trục lớn bằng \(\displaystyle 6\)

B. \(\displaystyle (E)\) có trục nhỏ bằng \(\displaystyle 4\)

C. \(\displaystyle (E)\) có tiêu cự bằng  \(\displaystyle \sqrt5\)

D. \(\displaystyle (E)\) có tỉ số \(\displaystyle {c \over a} = {{\sqrt 5 } \over 3}\)

Lời giải chi tiết

Đề bài

Khi \(t\) thay đổi, điểm \(M(5\cos t; 4\sin t)\) di động trên đường nào sau đây:

A. Elip                            B. Đường thẳng

C. Parabol                      D. Đường tròn

Lời giải chi tiết

Ta có:

Đề bài

Cho elip \(\displaystyle (E) {{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\) và đường thẳng \(\displaystyle Δ: y + 3 = 0\). Tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của \(\displaystyle (E)\) đến đường thẳng \(\displaystyle Δ\) bằng các giá trị nào sau đây:

A. \(\displaystyle 16\)                        B. \(\displaystyle 9\)                          

C. \(\displaystyle 81\)                        D. \(\displaystyle 7\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tìm tọa độ hai tiêu điểm.